Lineare Algebra und Analytische Geometrie

• Hauptseite

Kompetenzen

• Wesentliche Begriffe der Linearen Algebra und der Analytischen Geometrie wiedergeben
• Wesentliche Berechnungsmethoden der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie anwenden
• Einfache algebraische Beweise analysieren und durchführen

Grundbegriffe

Mengen

Eine Menge M ist jede Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten, welche die Elemente von M genannt werden, zu einem Ganzen. Gehört eine Element $x$ nicht zur Menge $M$, so schreibt man $x \notin M$.

Mengen können endlich oder unendlich viele Elemente enthalten (jedoch keines doppelt) und auf folgende Weise Definiert werden:

• Aufzählung aller Elemente einer Menge: $M = \{ 1, 2, 3, 4 \}$
• Verbale Angabe der Menge: Die Menge $M$ enthält alle natürlichen Zahlen von $1$ bis $4$, also $\{ 1, 2, 3, 4 \}$
• Durch Auswahl mit Eigenschaften: $M = \{ x \in \mathbb{N} \mid 1 \geq x \leq 4 \}$

Abbildungen

Relationen

Kartesisches Koordinatensystem

Ein Punkt in der Ebene in einem Koordinatensystem wird als Ursprung $O$ ausgezeichnet. Zwei aufeinander senkrecht stehend Zahlengeraden (die $x_1$- und $x_2$-Achse) mit dem Schnittpunkt $O$ bilden die Koordinatenachsen. Jedem Punkt $P$ wird genau ein Zahlenpaar ($p_1$, $p_2$) zugeordnet, welches die Koordinaten als senkrechte Projektion auf den entsprechenden Achsen repräsentiert: $$ \mathbb{R} \times \mathbb{R} { (x_1, x_2) \mid x_1, x_2 \in \mathbb{R} } $$

Punkte

Jeden Punkt $P$ in der Ebene können wir durch genau einen Pfeil (gerichtete strecke) $p = \overrightarrow{OP}$ vom Ursprung $O$ zum Punkt $P$ beschreiben. Diese Strecke wird auch Ortsvektor genannt.

Vektoren

Verschiebung

Durch eine Verschiebung wird jeder Punkt in einer Ebene um den gleichen Betrag verschoben, wobei sich die Länge der Pfeile nicht ändert. Die Verschiebung erzeugt eine Klasse mit unendlich vielen Verschiebungspfeilen, die in Richtung und Länge äquivalent sind.

Translationsrelation

Beschreiben wir die Punkte der Ebene durch Koordinatenpaare und die Verschiebungspfeile durch Punktepaare, können wir die Verschiebung mittels einer Relation algebraisch erklären:

• Die Verschiebungen (Translationen) definieren auf der Menge der Punktepaare der Ebene eine Relation, die Translationsrelation genannt wird.
• Zwei Punktepaare $A, B$ und $C, D$ stehen in Relation zueinander, wenn sie Verschiebungspfeile in der gleichen Klasse definieren: $(A, B) \sim (C, D) \iff a_1 - b_1 = c_1 - d_1, a_2 - b_2 = c_2 - d_2$

Verschiebungspfeile gleicher Richtung und gleicher Länge bilden die Äquivalenzklasse einer Translationsrelation oder Äquivalenzrelationen. Sie werden auch als Translationsvektoren bezeichnet. Der Einfachheit halber wird normalerweise der Standardvertreter, also die äquivalente Verschiebung eines Translationsvektors an den Ursprung angegeben: $(0, 0), (p_1, p_2))$

Vektornotation

Vektoren werden als kleine lateinische Buschtaben mit einem Pfeil $\overrightarrow{a}$ oder als fettgedruckte Buchstaben a notiert. Wird der Vektor als Pfeil dargestellt, bezeichnen wir die Punkte als Fußpunkt und Spitze. Im Fall des Standartvertreters eines Vektorpfeils werden nur die beiden Koordinaten der Spitze angegeben und übereinander geschrieben: $$\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}$$

Vektoraddition

Duch Hintereinanderausführung bestimmter Translationen werden alle Punkte der Ebene in eine bestimmte Richtung um einen bestimmten Betrag verschoben: $$\overrightarrow{a} \begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix} + \overrightarrow{b}\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix} = \overrightarrow{c}\begin{pmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\end{pmatrix}$$

Die Vektoraddition ist kommutativ, assoziativ und wird komponentenweise ausgeführt. Das Ergebniss wird Summenvektor genannt. Das Neutrale Element ist im Falle der Vektoraddition der sog. Nullvektor $\begin{pmatrix}a_1-a_1\\a_a+a_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$. Diesen Erhält man durch die Addition eines Vektors mit seinem inversen Element.

Vektorsubtraktion

Analog zum Summenvektor wird das Ergebnis einer Vektorsubrtaktion Differenzvektor genannt. Die Vektorsubtraktion ist nicht kommutativ oder assoziativ und wird komponentenweise ausgeführt: $$\overrightarrow{a} \begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix} - \overrightarrow{b}\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix} = \overrightarrow{c}\begin{pmatrix}a_1-b_1\\a_2-b_2\end{pmatrix}$$

Skalarmultiplikation: Strecken und Stauchen von Vektoren

Durch Strecken und Stauchen von Vektoren wird aus einem Skalar $\lambda$ und einem Vektor $\overrightarrow{a}$ ein neuer Vektor: $$\lambda\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}\lambda a_1\\\lambda a_2\end{pmatrix}$$

Die Skalarmultiplikation ist assoziativ und distributiv.

• $$(\lambda\mu)\overrightarrow{a} = \lambda(\mu\overrightarrow{a})$$
• $$(\lambda+\mu)\overrightarrow{a} = (\lambda\overrightarrow{a})+(\mu\overrightarrow{a})$$
• $$\lambda(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) = \lambda\overrightarrow{a} + \lambda\overrightarrow{b}$$

Elementare geometrische Objekte

der Ebene

des Raumes

Einfache Kurven

Einfache Flächen

Orthogonalität

Längen- und Winkelmessung

Determinante

in der Ebene

im Raum

Schnittmengenberechnung und Lineare Gleichungssysteme

Lineare und Affine Abbildungen der Ebene und des Raumes

Vektor- und Matrizenrechnung in der Ebene und im Raum